16.45
LuckyLacky
Algoritma Runut-balik (Backtracking)
- Runut-balik (backtracking) adalah algoritma yang berbasis pada DFS untuk mencari solusi persoalan secara lebih mangkus.
- Runut-balik, yang merupakan perbaikan dari algoritma brute-force, secara sistematis mencari solusi persoalan di antara semua kemungkinan solusi yang ada.
- Dengan metode runut-balik, kita tidak perlu memeriksa semua kemungkinan solusi yang ada. Hanya pencarian yang mengarah ke solusi saja yang selalu dipertimbangkan. Akibatnya, waktu pencarian dapat dihemat.
- Runut-balik merupakan bentuk tipikal dari algoritma rekursif.
- Saat ini algoritma runut-balik banyak diterapkan untuk program games (seperti permainan tic-tac-toe, menemukan jalan keluar dalam sebuah labirin, catur, dll) dan masalah-masalah pada bidang kecerdasan buatan (artificial intelligence).
Properti Umum Metode Runut-balik
1. Solusi persoalan.
Solusi dinyatakan sebagai vektor dengan n-tuple:
X = (x1, x2, …, xn), xi Î himpunan berhingga Si .
Mungkin saja S1 = S2 = … = Sn.
Contoh: Si = {0, 1},
xi = 0 atau 1
2. Fungsi pembangkit nilai xk
Dinyatakan sebagai:
T(k)
T(k) membangkitkan nilai untuk xk, yang merupakan komponen vektor solusi.
3. Fungsi pembatas (pada beberapa persoalan fungsi ini dinamakan fungsi kriteria)
Dinyatakan sebagai
B(x1, x2, …, xk)
Fungsi pembatas menentukan apakah (x1, x2, …, xk) mengarah ke solusi. Jika ya, maka pembangkitan nilai untuk xk+1 dilanjutkan, tetapi jika tidak, maka (x1, x2, …, xk) dibuang dan tidak dipertimbangkan lagi dalam pencarian solusi.
Pengorganisasian Solusi
- Semua kemungkinan solusi dari persoalan disebut ruang solusi (solution space).
- Jika xi Î Si, maka S1 ´ S2 ´ … ´ Sn disebut ruang solusi.
- Jumlah anggota di dalam ruang solusi adalah | S1| × | S2| × … × | Sn |.
- Tinjau persoalan Knapsack 0/1 untuk n = 3. Solusi persoalan dinyatakan sebagai vektor (x1, x2, x3) dengan xi Î {0,1}. Ruang solusinya adalah
{0,1} ´ {0,1} ´ {0,1} = {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1),
(0, 1, 1), (1, 1, 1)}.
- Pada persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3 terdapat 2n = 23 = 8 kemungkinan solusi, yaitu:
(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1),
(0, 1, 1), dan (1, 1, 1).
- Penyelesaian secara exhaustive search adalah dengan menguji setiap kemungkinan solusi.
- Ruang solusi diorganisasikan ke dalam struktur pohon.
- Tiap simpul pohon menyatakan status (state) persoalan, sedangkan sisi (cabang) dilabeli dengan nilai-nilai xi.
- Lintasan dari akar ke daun menyatakan solusi yang mungkin.
- Seluruh lintasan dari akar ke daun membentuk ruang solusi. Pengorganisasian pohon ruang solusi diacu sebagai pohon ruang status (state space tree).
- Tinjau kembali persoalan Knapsack 1/0 untuk n = 3. Ruang solusinya:
Gambar 7.1 Ruang solusi untuk persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3
Prinsip Pencarian Solusi dengan Metode Runut-balik
1. Solusi dicari dengan membentuk lintasan dari akar ke daun. Aturan pembentukan yang dipakai adalah mengikuti aturan pencarian mendalam (DFS). Simpul-simpul yang sudah dilahirkan dinamakan simpul hidup (live node). Simpul hidup yang sedang diperluas dinamakan simpul-E (Expand-node).
2. Tiap kali simpul-E diperluas, lintasan yang dibangun olehnya bertambah panjang. Jika lintasan yang sedang dibentuk tidak mengarah ke solusi, maka simpul-E tersebut “dibunuh” sehingga menjadi simpul mati (dead node). Fungsi yang digunakan untuk membunuh simpul-E adalah dengan menerapkan fungsi pembatas (bounding function). Simpul yang sudah mati tidak akan pernah diperluas lagi.
3. Jika pembentukan lintasan berakhir dengan simpul mati, maka proses pencarian diteruskan dengan membangkitkan simpul anak yang lainnya. Bila tidak ada lagi simpul anak yang dapat dibangkitkan, maka pencarian solusi dilanjutkan dengan melakukan runut-balik ke simpul hidup terdekat (simpul orangtua). Selanjutnya simpul ini menjadi simpul-E yang baru.
4. Pencarian dihentikan bila kita telah menemukan solusi atau tidak ada lagi simpul hidup untuk runut-balik.
Tinjau persoalan Knapsack 0/1 dengan instansiasi:
n = 3
(w1, w2, w3) = (35, 32, 25)
(p1, p2, p3) = (40, 25, 50)
M = 30
Solusi dinyatakan sebagai X = (x1, x2, x3), xi Î {0, 1}.
Fungsi pembatas:
 |
Gambar 7.2 (a) Pohon dinamis yang dibentuk selama pencarian untuk persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3,
w = (35, 32, 25) dan p = (40, 25, 50)
(b) Penomoran ulang simpul-simpul sesuai urutan pembangkitannya
Solusi optimumnya adalah X = (0, 0, 1) dan F = 50.
Skema Umum Algoritma Runut-Balik
(a) Versi rekursif
| procedure RunutBalikR(input k:integer) {Mencari semua solusi persoalan dengan metode runut-balik; skema rekursif Masukan: k, yaitu indeks komponen vektor solusi, x[k] Keluaran: solusi x = (x[1], x[2], …, x[n]) } Algoritma: for tiap x[k] yang belum dicoba sedemikian sehingga ( x[k]¬T(k)) and B(x[1], x[2], ... ,x[k])= true do if (x[1], x[2], ... ,x[k]) adalah lintasan dari akar ke daun then CetakSolusi(x) endif RunutBalikR(k+1) { tentukan nilai untuk x[k+1]} endfor |
Pemanggilan prosedur pertama kali: RunutBalikR(1)
(b) Versi iteratif
| procedure RunutBalikI(input n:integer) {Mencari semua solusi persoalan dengan metode runut-balik; skema iteratif. Masukan: n, yaitu panjang vektor solusi Keluaran: solusi x = (x[1], x[2], …, x[n]) } Delarasi: k : integer Algoritma: k¬1 while k > 0 do if (x[k] belum dicoba sedemikian sehingga x[k]¬T(k)) and (B(x[1], x[2], ... ,x[k])= true) then if (x[1],x[2],...,x[k]) adalah lintasan dari akar ke daun then CetakSolusi(x) endif k¬k+1 {indeks anggota tupple berikutnya} else {x[1], x[2], …, x[k] tidak mengarah ke simpul solusi } k¬k-1 {runut-balik ke anggota tupple sebelumnya} endif endwhile { k = 0 } |
Pemanggilan prosedur pertama kali: RunutBalikI(n)
- Setiap simpul dalam pohon ruang status berasosiasi dengan sebuah pemanggilan rekursif.
- Jika jumlah simpul dalam pohon ruang status adalah 2n atau n!, maka untuk kasus terburuk, algoritma runut-balik membutuhkan waktu dalam O(p(n)2n) atau O(q(n)n!), dengan p(n) dan q(n) adalah polinom derajat n yang menyatakan waktu komputasi setiap simpul.
